De Mandelbrot aux cygnes noirs

Professeur à l'ULB et à l'UCL, membre de l'Académie royale de Belgique. ©Thierry du Bois

Depuis quelques années, nous sentons tous que quelque chose nous échappe. Autrefois prévisibles, les marchés financiers développent une fébrilité qui déstabilise toute l’économie.

Les crises se succèdent à une vitesse surprenante, touchant indistinctement les classes d’actifs, les continents et les marchés. C’est d’ailleurs l’immobilier, placement stable par excellence, qui fut à l’origine de la plus grande crise du crédit depuis la récession des années trente. Même les États, considérés comme des remparts à l’effervescence de la spéculation, sont mis à mal. On parle aujourd’hui de leur faillite potentielle.

Cette séquence d’événements a définitivement disqualifié une certaine gestion des risques, celle qui postulait que les risques se situaient dans des balises acceptables. Aujourd’hui, force est de constater que les événements extrêmes sont d’une gravité insoupçonnée et que leur probabilité de survenance, a priori très faible, est sans doute plus significative.

Le crédo de Mandelbrot est simple: il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Les modèles standards occultent la complexité de la réalité.
Bruno Colmant

Cela a conduit à la théorie du cygne noir de Taleb. La théorie du cygne noir postule qu’un événement imprévisible de faible probabilité peut avoir des conséquences considérables. Taleb a appelé cette théorie en référence à la conviction, longtemps entretenue en Europe, que les cygnes étaient tous blancs, jusqu’à la découverte de l'existence de cygnes noirs en Australie.

 

Mais Taleb avait un précurseur, récemment décédé: Benoît Mandelbrot (1924-2010). Né à Varsovie, dans une famille juive d’origine lituanienne, Mandelbrot étudie en France avant d’osciller entre les États-Unis et la France. Le chercheur est, pour de nombreux scientifiques, un renégat de la mathématique et un trublion de la finance. Il s’opposera d’ailleurs à Black, Scholes et Merton, les inventeurs de la théorie des options.

Le crédo de Mandelbrot est simple: il n’y a pas une forme de hasard, qui conduirait toujours à une égalisation par la loi des grands nombres. Les modèles standards occultent la complexité de la réalité. Mandelbrot formule cette réalité au moyen de la théorie des fractales, afin de décrire des alternances de périodes calmes et agitées observées sur les marchés financiers.

La théorie des fractales suppose que l’amplitude des variations puisse rester indépendante d’un jour à l’autre, contrairement aux théories classiques qui sont basées sur des modèles qualifiés de "browniens".
Bruno Colmant

Le terme "fractal" provient de l'adjectif latin "fractus", qui signifie irrégulier ou brisé. Une fractale est une forme géométrique qui peut être séparée en plusieurs parties, dont chacune est une version à échelle réduite de l'ensemble. On obtient une image fractale en partant d’un objet auquel on applique une certaine transformation qui ajoute un élément de complexité, puis en appliquant la même transformation au nouvel objet ainsi obtenu, ce qui accroît encore sa complexité... et en recommençant à l’infini ce processus d’itérations.

Par exemple, partant d’une étoile, on applique des transformations identiques à chaque branche de l’étoile et progressivement, l’étoile se transforme en flocon complexe. Une autre illustration est celle du sapin, qui de loin, apparaît triangulaire. Au fur et à mesure qu’on s’en approche, le sapin apparaît comme une forme plus complexe, faite d’un nombre croissant de formes triangulaires superposées et se chevauchant.

La théorie classique de la finance a pris, depuis les rafales de crises que nos économies traversent, un sérieux coup de vieux.
Bruno Colmant

Transposée à l’étude de la finance, la théorie des fractales suppose que l’amplitude des variations puisse rester indépendante d’un jour à l’autre, contrairement aux théories classiques qui sont basées sur des modèles qualifiés de "browniens". En d’autres termes, un cygne noir peut apparaître à tout instant. Pour Mandelbrot, les marchés sont plus "sauvages et effrayants" que la théorie ne le laisserait supposer. Les cours effectuent des sauts erratiques. Les variations de cours n’épousent pas non plus les proportions de la courbe en cloche de la distribution normale. Mais attention: les fractales ne donnent pas la prévision d'une baisse ou d'une hausse des prix. Par contre, elles fournissent des estimations de la probabilité de ce que le marché pourrait faire et permettent de se préparer aux changements inévitables.

En résumé, les fractales sont des objets géométriques qui peuvent être décomposés en fragments dont chacun a la même forme que le tout. L’univers de Mandelbrot est un monde de beautés, de formes, de turbulences et de géométries complexes. Aujourd’hui disparu, Mandelbrot aura interpellé la pensée académique unique. Passé comme une ombre, il n’a pas obtenu la reconnaissance que ses visions méritaient. Pourtant, ses nombreux disciples, dont Taleb, n’ont pas encore écrit les dernières pages de l’histoire des fractales. D’ailleurs, la théorie classique de la finance a pris, depuis les rafales de crises que nos économies traversent, un sérieux coup de vieux. 

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